|
Le ipotesi non euclidee - 5
(Luca Nicotra) - L’intuizionismo
Per un matematico intuizionista, la geometria è la forma necessaria a
priori della percezione della realtà
 esterna
e i “concetti matematici hanno, oppure dovrebbero avere, un significato
psicologico di per se stessi, senza necessità di mediazione da parte
dell’astrazione e del simbolismo”1 . In altri termini, i principi della
geometria devono essere ricercati esclusivamente nel mondo fisico, perché
la geometria ha significato soltanto come chiave di lettura della natura,
per poter leggere, come diceva Galileo2, nel “…grandissimo libro che
continuamente ci sta aperto innanzi (io dico l’universo), ma non si può
intendere se prima non s’impara a intender la lingua e conoscere i
caratteri ne’ quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i
caratteri son triangoli, cerchi e altre figure geometriche, senza i quali
mezzi è impossibile intenderne umanamente parola: senza questi è un
aggirarsi vanamente per un labirinto.” In tal senso, la geometria può
essere considerata un particolare capitolo della fisica. Si può senz’altro
affermare che la stragrande maggioranza dei matematici del passato è
appartenuta a tale indirizzo di pensiero, che in Archimede ha trovato
probabilmente il massimo esponente fin dall’Antichità classica. La
scoperta, avvenuta agli inizi del secolo XIX3 , di una sua operetta
ritenuta perduta, Il Metodo, rivela esplicitamente come Archimede giungeva
alle sue principali scoperte geometriche attraverso l’applicazione di
metodi meccanici e quindi sperimentali. Galileo, dunque, con il suo
interrogare la natura anche nelle matematiche investigazioni, ricalca il
metodo del grande siracusano. Ovviamente, prima della nascita delle
geometrie non-euclidee e delle conseguenti dispute sui fondamenti della
matematica, il problema d’essere o non essere intuizionista poco o affatto
si poneva , poiché tutti i matematici erano, più o meno consapevolmente,
intuizionisti. I primi “cedimenti” riguardo a questo punto di vista
risalgono al secolo XIX (G. Boole, B. Peirce, J.WR.. Dedekind, G. Cantor).
In realtà, soltanto agli inizi del secolo XX, in contrapposizione alle
altre vedute sul significato delle matematiche, prende coscienza una vera
e propria scuola intuizionista4 per opera di L.E.J. Brouwer (1881,1966),
di cui Hermann Weyl (1885-1955) è stato il più autorevole seguace.
11.1. Il logicismo
Il precursore del logicismo fu senz’altro George Boole (1815-1864), che
nel 1854, con la sua opera
 Investigation
of the Laws of Thought (Analisi delle leggi del pensiero), aveva gettato
le basi della logica formale, e per tale suo contributo è stato poi
considerato da B. Russell l’inventore della matematica pura. Fu, però,
F.L.Gottlob Frege (1848-1925), nella sua opera in due volumi Die
Grundgesetze der Arithmetik (Le leggi fondamentali dell’Aritmetica), che
tentò per la prima volta di derivare tutta l’aritmetica dalla logica.
L’opera di Frege rimase pressocchè ignorata fin quando Bertrand Russell
non la riscoprì agli inizi del secolo XX, divulgandola negli ambienti
scientifici del tempo. Per tali motivi, Frege può essere considerato il
fondatore della scuola logicista, che ebbe poi in A.N. Whitehead e B.
Russell i suoi maggiori esponenti.
Per i logicisti, la geometria, al pari di qualunque altro ramo della
matematica, è un’espressione dei meccanismi logici che caratterizzano il
pensiero dell’uomo, e pertanto i principi della geometria vanno ricercati
esclusivamente nella logica: “Tutta la matematica pura (aritmetica,
analisi, geometria) è costruita mediante varie combinazioni delle idee
iniziali della logica, e i suoi enunciati sono dedotti dagli assiomi
generali della logica, come il sillogismo e le altre regole deduttive.” 5
In tale ottica, logica e matematica sono sviluppi successivi di un’unica
disciplina, al punto da poter affermare che “la logica è la gioventù della
matematica, e la matematica è la maturità della logica”6 . Naturalmente,
non tutti sono d’accordo con tali vedute. Charles Sanders Peirce
(1839-1914), per esempio, sosteneva che matematica e logica sono due
discipline distinte poiché “La matematica è puramente ipotetica: essa
presenta soltanto proposizioni condizionali. La logica, al contrario, è
categorica nelle sue asserzioni”
11.2. L’assiomatismo.
L’aspirazione a stabilire una sistemazione rigorosamente logica della
matematica fu una conseguenza sia della scoperta delle geometrie
non-euclidee sia dell’indirizzo formale iniziato da Boole. Essa raggiunse
l’apice negli anni a cavallo dei secoli XIX e XX.
Le geometrie non-euclidee e i lavori di Benjamin Peirce sulla costruzione
di ben 162 algebre avevano posto chiaramente in luce la possibilità di
costruire “matematiche differenti” e altrettanto valide dal punto di vista
logico. Se prima di tali eventi i matematici avevano indirizzato i loro
sforzi creativi unicamente verso i contenuti della loro disciplina, sul
finire del secolo XIX e agli inizi del successivo, invece, diventa in loro
predominante l’attenzione verso gli aspetti logici. Essi vogliono essere
sicuri della non contraddittorietà della matematica e cercano di
riorganizzarne i contenuti, in modo che essa sia presentabile come un
sistema logico perfetto. Da queste ambizioni nasce l’assiomatismo, il cui
obiettivo principale è ridurre tutta la matematica al minimo numero di
concetti indefiniti e di proposizioni indimostrate.
A tale scopo, alcuni eminenti matematici sottoposero ad approfondite
analisi la struttura logica dei vari rami della matematica, indagarono
sulla “compatibilità o coerenza” degli assiomi, vale a dire studiarono il
metodo per dimostrare che non vi sia contraddizione fra gli assiomi, sulla
loro “indipendenza”, cercando di appurare che nessun assioma sia
deducibile dagli altri, sulla loro “completezza”, cioè che nessun altro
postulato occorra per dimostrare i teoremi.
Il grande matematico italiano Giuseppe Peano, nei suoi Arithmetices
principia nova metodo exposita del 1889, realizzava la prima sistemazione
assiomatica dell’intera matematica (o quasi), ottenendo l’eclatante
risultato di ridurre tutta l’analisi e l’aritmetica al sistema dei numeri
naturali, e di ridurre a sua volta quest’ultimo a tre idee primitive e
cinque assiomi. Qualche anno dopo, dal 1894 al 1908, con il suo celebre
Formulario Matematico, espose la sua sistemazione assiomatica della
matematica in maniera rigorosamente formale, senza usare una sola parola
del linguaggio ordinario, bensì utilizzando esclusivamente un linguaggio
formale da lui inventato, tutt’oggi largamente seguito, costituito dai
simboli introdotti come concetti indefiniti e da quelli da essi derivati.
L’opera di Peano e dei suoi allievi, sotto certi aspetti, ha costituito il
massimo della perfezione logica, ed ha avuto un influsso notevole negli
ambienti scientifici di tutto il mondo. B. Russel lo definì “il grande
maestro nell’arte del ragionamento formale, tra gli uomini dei nostri
tempi”.
Nel 1899 David Hilbert nei suoi Grundlagen der Geometrie (Fondamenti della
geometria) presentò la prima e più celebre sistemazione assiomatica della
geometria euclidea, derivando questa da cinque idee primitive e ventuno
assiomi. Un’altra impostazione assiomatica della geometria degli Elementi
di Euclide fu successivamente realizzata dal matematico americano Oswald
Veblen. (continua)
Note:
1 Edward Stabler, Il pensiero matematico.
2 Galilei Galilei, Il Saggiatore.
3 Nel 1906 il filologo danese J.L.Heiberg ritrovò, in una biblioteca di
Costantinopoli, un antico palinsesto di 185 pagine di pergamena,
contenente copie di varie opere di Archimede già note e il Metodo di cui,
invece, non era pervenuto alcun esemplare e che si riteneva quindi
perduto. Un palinsesto è un documento contenente uno scritto, che
successivamente è stato cancellato per scrivervi sopra un altro scritto.
Per fortuna, la cancellazione del palinsesto ritrovato da Heiberg non fu
eseguita a regola d’arte, permettendo di conseguenza, con tecniche
fotografiche appropriate, di recuperare il manoscritto originario.
4 Il primo atto ufficiale di tale scuola può essere considerato la
dissertazione di dottorato di Brouwer del 1907.
5 Bertrand Russell, La matematica e i metafisici.
6 Bertrand Russell, Introduzione alla filosofia matematica. |
