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Sommario anno XIII numero 1 - gennaio 2004

 LE GRANDI IDEE DELLA SCIENZA

Le ipotesi non euclidee - 7
(Luca Nicotra) -                              11.4.     Il neo-positivismo.

I neo-positivisti accolgono in pieno la concezione formalista della matematica e la estendono alla logica. Pertanto, non soltanto le idee e proposizioni primitive della matematica sono simboli e regole arbitrari, ma anche i principi della logica possono essere scelti arbitrariamente dando luogo a “più logiche”.
L’impulso a mettere in discussione l’esistenza di un solo tipo di logica, quella classica aristotelica a due valori (vero, falso), venne dagli intuizionisti, che contestavano ai logicisti e ai formalisti la validità del principio del terzo escluso (tertium non datur) della logica aristotelica, secondo il quale A è B o non-B, in altre parole una proposizione è vera o falsa, senza altre alternative.Tale principio, infatti, dava luogo a vari paradossi, nella sua applicazione sia a taluni insiemi sia a talune proposizioni. Vediamo alcuni esempi.
IBertrand Russell primo e più celebre è l’antinomia di Russell: sia C l’insieme che contiene tutte e soltanto le classi che non sono elementi di se stesse.; C è un elemento di se stessa? Entrambe le risposte che si possono dare con la logica a due valori, danno luogo a contraddizioni. Infatti, se rispondiamo “C è elemento di se stessa”, vuol dire che C è una delle sue classi, le quali non sono elementi di se stesse: dunque C sarebbe contemporaneamente elemento di se stessa e non elemento di se stessa; se, d’altra parte rispondiamo “C non è elemento di se stessa”, allora C sarebbe una delle classi di C e quindi un elemento di se stessa: ancora una volta C sarebbe contemporaneamente elemento di se stessa e non elemento di se stessa.
Un’esemplificazione pittoresca del paradosso di Russell è formulabile con la seguente domanda: “Il barbiere che fa la barba a tutti e soltanto coloro che non si fanno la barba da soli, si fa la barba da solo?”. Se il barbiere si fa la barba da solo, allora è egli stesso uno dei suoi clienti e quindi è uno che non si fa la barba da solo; se, al contrario, il barbiere non si fa la barba da solo, anche in questo caso è per definizione uno dei suoi clienti, e quindi fa la barba a se stesso.
Inoltre, un esempio di paradosso che deriva dall’applicazione del principio tertium non datur a certe proposizioni è noto fin dal VI sec. A.C. e lo si deve a Epimenide di Creta: “Io, Epimenide, sono Cretese e vi dico che tutti i Cretesi sono bugiardi”. Se l’asserzione fosse vera, Epimenide, essendo cretese,  sarebbe bugiardo, ma asserendo che tutti i cretesi sono bugiardi direbbe la verità e quindi non sarebbe bugiardo. Viceversa, se quell’asserzione fosse falsa, Epimenide dicendo anche lui una bugia renderebbe vera l’affermazione che tutti i cretesi sono bugiardi. Un’altra versione dello stesso tipo di proposizione è la seguente: “Questa asserzione è falsa”. Infatti, se essa fosse falsa, allora sarebbe vera; viceversa, se essa fosse vera, allora sarebbe falsa! Ancora una volta ci troviamo di fronte a situazioni contraddittorie, caratterizzate dall’attribuzione contemporanea di vero e falso allo stesso soggetto.
Infine, esistono casi in cui non è possibile decidere se qualcosa è vera o falsa. Un esempio molto semplice è il seguente: com’è possibile affermare se è vero o falso che nella rappresentazione decimale del numero irrazionale ð compaia almeno una volta la successione di cifre 1,2,3,4,5,6,7,8,9, se il numero di cifre decimali di ð è infinito, senza periodicità, e non è quindi possibile applicare nessun procedimento finito di indagine delle sue cifre? Tale affermazione, dunque, non è né vera né falsa, e il principio del terzo escluso non è applicabile.
Kurt GödelNel 193111 , il matematico e logico austriaco Kurt Gödel, prendendo in considerazione proprio il paradosso di Epimenide, dimostrò che talune affermazioni sono vere se e solo se sono false, e quindi che il principio del terzo escluso non è sempre valido, esistendo situazioni in cui, invece, si è costretti ad accettare che un’affermazione non è né vera né falsa. Gödel dimostrò, con i suoi celebri teoremi sull’indecidibilità e sull’incompletezza, che entro ogni sistema rigidamente assiomatico e sufficientemente “forte”12 , esiste almeno una proposizione per la quale non è possibile decidere se è vera o falsa e che un sistema non contraddittorio di assiomi deve essere necessariamente incompleto, e quindi che la prova della non contraddittorietà degli assiomi non può trovarsi all’interno del sistema ipotetico-deduttivo stesso, ma deve essere ricercata al di fuori di esso.
Deposta dal suo piedistallo la logica a due valori di Aristotile, sono stati elaborati sistemi di logica a più valori, e sistemi di logica a valori della probabilità, in cui la verità di una proposizione può assumere vari valori, eventualmente infiniti, compresi fra i due estremi vero e falso.
Il neo-positivismo o positivismo logico, dunque, sancisce la completa relatività della verità matematica: il concetto di vero non è assoluto soltanto perché è relativo all’insieme di assiomi adottati, ma anche perché dipende dal sistema di logica applicato.

11 Kurt Gödel, Ueber formal unentscheidbare Sätze der Principia Msthematica und verwandter Systeme in Monatshefte der Mathematik und Phisik, 38, 1931.
12 Vale a dire in grado di rappresentare almeno tutta l’aritmetica.

 LE GRANDI IDEE DELLA SCIENZA

Sommario anno XIII numero 1 - gennaio 2004