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Edward Lorenz e il caos deterministico – 1

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Edward Lorenz e il caos deterministico – 1

Edward Lorenz e il caos deterministico – 1
giugno 18
02:00 2008

Lorenz e il suo attrattore stranoRiceviamo e volentieri pubblichiamo il seguente necrologio di Edward Lorenz, recentemente scomparso. L’autore è il prof. G.I. Bischi, Ordinario di Matematica Generale presso la Facoltà di Economia dell’Università “Carlo Bo” di Urbino, esperto di modelli dinamici e loro applicazioni. Una versione più estesa dell’articolo è consultabile nel sito di Lettera Matematica Pristem alla pagina http://matematica.unibocconi.it/interventi/Lorenz/lorenz.htm

Il 16 aprile è morto, all’età di 90 anni, Edward Lorenz, matematico e meteorologo del Massachusets Institute of Technology (MIT) famoso per aver riconosciuto, in un sistema di equazioni differenziali utilizzato come modello per le previsioni del tempo, quello che ora è chiamato ‘caos deterministico’. Oltre ad aver rivoluzionato le basi concettuali della prevedibilità matematica in meteorologia, Lorenz è considerato uno dei pionieri e principali divulgatori della moderna teoria del caos deterministico, anche grazie alla metafora del battito di ali di una farfalla (butterfly effect) che, dopo essere comparsa nel titolo di un suo articolo, è diventata un’espressione ricorrente per indicare un evento di grande portata innescato da una causa quasi insignificante, fenomeno che costituisce una delle principali caratteristiche del caos deterministico.
Nato il 23 maggio 1917 a West Hatford, nel Connecticut (USA), Lorenz si era laureato in matematica ad Harvard nel 1940 e poi aveva combattuto nella seconda guerra mondiale come ufficiale dell’Aeronautica militare, elaborando le previsioni del tempo per i piloti dei bombardieri. Finita la guerra, Lorenz si laureò in meteorologia al MIT, dove rimase per il resto della sua carriera accademica.
Alla fine degli anni ’50 Lorenz sviluppava modelli matematici per descrivere i movimenti di masse d’aria nell’atmosfera. Questi modelli erano costituiti da sistemi di equazioni differenziali ordinarie, che poi venivano risolti numericamente. In quegli anni, gli scienziati incominciavano a disporre di computer, prima a valvole e poi a transistor, e l’ostacolo più duro per i meteorologi sembrava essere la limitata velocità con cui bisognava trattare una grandissima quantità di dati: misure di pressione, umidità, temperatura, velocità del vento, e così via, raccolte in migliaia di stazioni sparse per il mondo e da altrettanti palloni sonda.
Secondo il racconto riportato nel famoso libro divulgativo Chaos di James Gleick , Lorenz scoprì accidentalmente il comportamento caotico delle soluzioni nel 1961. Infatti, mentre stava stampando lunghe sequenze di numeri che rappresentavano gli andamenti delle variabili utilizzate per le previsioni del tempo in base a un modello di 12 equazioni differenziali, un giorno provò a ripetere una di queste simulazioni ma, anziché generare l’intera sequenza, iniziò da un valore intermedio ricopiandolo dai tabulati ottenuti in precedenza. Quando Lorenz andò a vedere il risultato rimase stupito nel vedere che, da un certo punto in poi la nuova sequenza ottenuta differiva in modo significativo dalla precedente, fino a non percepire più alcuna somiglianza fra le due. All’inizio pensò a un malfunzionamento del computer, ma poi si rese conto che il problema era legato al fatto che non aveva immesso le condizioni iniziali con sufficiente precisione: il computer utilizzava nei calcoli numeri con sei cifre decimali, mentre i risultati venivano stampati con tre cifre decimali soltanto, e Lorenz aveva utilizzato questa precisione ridotta per ripetere le simulazione numerica. Come dire che aveva introdotto 0.506 invece di 0.506127. La cosa stupefacente era che un errore iniziale davvero minimo, meno dello 0.1 per cento, aveva prodotto cambiamenti così drastici nell’andamento delle traiettorie ottenute.
Lorenz si appassionò a questo fenomeno, si rese conto che era legato alla non linearità delle equazioni differenziali e ottenne simili risultati anche per sistemi molto più semplici, ad esempio un sistema di tre equazioni differenziali, che utilizzò per scrivere un articolo ora famoso, dal titolo Deterministic Nonperiodic Flow, comparso nel 1963 nella rivista Journal of the Atmospheric Sciences.
In questo articolo considerò un modello dinamico per la descrizione dei moti convettivi nell’atmosfera espresso mediante il seguente sistema di tre equazioni differenziali:

dx/dt = S(y-x)
dy/dt = Rx – y – xz
dz/dt = xy -Bz

dove x, y, z sono variabili di stato (funzioni del tempo) che servono a descrivere le modalità di movimento del fluido, S, R, B sono parametri legati a proprietà del sistema. Se non fosse per i termini xz e xy, le equazioni del moto studiate da Lorenz sarebbero lineari, e quindi si potrebbe ottenere la soluzione esatta in forma analitica. In questo senso quel sistema di tre equazioni differenziali è considerato semplice, e non ci si aspetta che possa dare luogo ai fenomeni bizzarri descritti da Lorenz. Invece, partendo da questo modello, nell’articolo del 1963 Lorenz descrisse con una chiarezza magistrale ed esempi efficaci, il fenomeno del caos deterministico. Infatti, calcolando numericamente le soluzioni di quel sistema di equazioni differenziali, si possono ottenere, per certi valori dei parametri, oscillazioni molto irregolari.
Ma la sorpresa più grande consiste nel fatto che, partendo da condizioni iniziali che differiscono da quelle in maniera quasi impercettibile, dopo un breve periodo iniziale, in cui i comportamenti sono quasi uguali, gli andamenti di lungo periodo risultano completamente diversi: le corrispondenti traiettorie si allontanano fra loro con rapidità esponenziale, per poi avvicinarsi di nuovo, e poi riallontanarsi, e così via.
Rappresentando le traiettorie nello spazio tridimensionale delle variabili x, y, z, Lorenz si rese anche conto che queste andavano a disporsi su una particolare figura che non mutava cambiando le condizioni iniziali. Si trattava di un ‘attrattore caotico’ che venne chiamato attrattore strano di Lorenz. La sua forma ci dà informazioni di regolarità perché ci dice che, per quanto bizzarre, le traiettorie rimarranno intrappolate all’interno di quella figura. Inoltre la forma e l’estensione dell’attrattore dipendono dai parametri, e da questo si possono dedurre, ad esempio, informazioni sull’ampiezza delle oscillazioni climatiche, pur non permettendo di fare previsioni a lungo termine circa le condizioni meteorologiche.
La scoperta di Lorenz, che riportò all’attenzione degli studiosi il fenomeno del caos deterministico, già studiato ai primi del Novecento dal francese Poincaré e poi negli anni Venti dall’americano Birkhoff, fu frutto di una fortunata coincidenza, un tipico caso di serendipity, che si manifesta soltanto se chi si trova dinanzi l’evento fortunato ha le conoscenze per coglierne il significato e l’importanza che ad altri sfuggirebbero. Lorenz, infatti, fu in grado di capire e approfondire la portata dell’avvenimento fortuito grazie alle sue ottime qualità di matematico, essendo laureato in matematica all’Università di Harvard. Non è certamente un caso se nel suo articolo del 1963 Lorenz cita Poincaré e Birkhoff, dai cui lavori dedusse la descrizione del fenomeno del caos deterministico (anche se il termine fu proposto per la prima volta successivamente da Li e Yorke nel 1975, nell’articolo Period three implies chaos).(Continua)

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