Le
ipotesi non euclidee
(3a
puntata)
(Luca
Nicotra) - 6. Del
dimostrare: proposizioni primitive e derivate.
Le proprietà delle figure geometriche sono organizzate con una struttura
logica identica a quella delle definizioni delle figure. Esse sono
 espresse
da proposizioni1 del tipo “se è vero p,
allora è vero q”, la cui verità è dimostrata mostrando come la
verità di q è una conseguenza logica della verità di p,
in virtù di altre proposizioni già dimostrate. La verità di queste, a
sua volta, è stata dimostrata deducendole da altre proposizioni già
dimostrate, e così via. Si presenta, pertanto, la stessa situazione che
abbiamo già incontrato a proposito delle definizioni delle figure
geometriche, vale a dire ci troviamo di fronte ad un processo iterativo di
derivazione logica di ogni proposizione dalle precedenti, cioè da
proposizioni che sono antecedenti nell’ordine logico deduttivo secondo
cui tutte le proposizioni della nostra geometria sono strutturate. È
ovvio, allora, che anche per le proprietà delle figure, come per le
definizioni degli enti geometrici, il processo deduttivo deve avere un
principio, costituito da proprietà la cui verità non può essere
ulteriormente derivata da quella di precedenti proprietà, almeno
ricorrendo agli strumenti della matematica. Tali proprietà, che stanno
all’inizio del processo deduttivo che genera tutte le altre proprietà
delle figure geometriche, sono dunque indimostrabili, così come gli enti
primitivi sono indefinibili. Esse esprimono relazioni fra gli enti
primitivi e, per la funzione svolta, sono denominate proposizioni
primitive o indefinite o fondamentali, note più comunemente anche come
postulati o assiomi2 .
7. La geometria esatta degli enti astratti.
Precedentemente, abbiamo visto come la scoperta delle grandezze
incommensurabili abbia portato all’introduzione in matematica dei numeri
irrazionali e al concetto d’infinito. L’altra grande rivoluzione
riguardò l’antica concezione atomistica o monadica delle figure
geometriche, secondo la quale queste sarebbero formate da un numero finito
di punti materiali indivisibili, minuscoli, ma di dimensioni finite, detti
“monadi” dai pitagorici. Infatti, se tale ipotesi fosse vera, tutte le
grandezze geometriche dovrebbero essere commensurabili, poichè, anche nel
caso in cui una grandezza A non contenesse un numero intero di
volte un’altra B, esisterebbe pur sempre il punto-monade come
sottomultiplo comune di A e B. La scoperta dell’esistenza
di grandezze incommensurabili, invece, dimostrò la falsità
dell’ipotesi delle monadi e obbligò ad abbandonarla, trasformando la
vecchia concezione degli enti geometrici da materialistica ad astratta: il
punto, la retta, il piano e tutte le altre figure geometriche divennero
entità immateriali e astratte, essendo la loro idea “astratta” da
oggetti del mondo fisico.
Dalla geometria approssimata degli enti sensibili si passò, dunque, alla
geometria esatta delle idee.
8. La validità delle idee e proposizioni primitive: realtà fisica,
logica o puro pensiero?
Ritorniamo ora al nostro problema degli oggetti e delle proprietà da
porre all’inizio, rispettivamente, della catena di definizioni e della
catena di dimostrazioni.
Nel caso della geometria esatta delle idee, gli oggetti-principio, detti
più propriamente idee indefinite o primitive o fondamentali, non possono
essere mostrati, come nel caso della geometria degli enti sensibili,
essendo astratti, e quindi non sono suscettibili di una conoscenza
sensoriale diretta. L’unico mezzo per conoscerli è menzionarne il nome
e illustrarli con le proprietà fondamentali di cui godono, vale a dire
con gli assiomi. Idee e proposizioni primitive sono i fondamenti della
geometria, perché su di esse è costruita tale scienza.
Ma quali idee primitive e assiomi scegliere? L’uomo si è sempre posto
il problema della “verità”. È naturale, quindi, prendere in
considerazione le idee primitive e gli assiomi che si ritengono veri. Ma
come essere sicuri della loro verità, se non sono definibili e
dimostrabili?
Oggi sappiamo che per risolvere questa difficile questione sono possibili
tre vie, alle quali si è giunti successivamente nel corso dello sviluppo
del pensiero matematico, ciascuna corrispondente ad uno degli indirizzi di
pensiero, intuizionismo, formalismo e logicismo, secondo cui i matematici
hanno affrontato finora il problema dei fondamenti della loro scienza.
La via dell’intuizionismo s’impose storicamente per prima e fu
seguita per lunghissimo tempo, essendo la più semplice e naturale, in
quanto rispondente al concetto universalmente diffuso di “vero”,
inteso come ciò che è confermato dalla realtà fisica; le vie del
formalismo e del logicismo, invece, si palesarono soltanto in epoca
relativamente recente (secoli XIX e XX), in seguito al lavoro di analisi
critica dei fondamenti della matematica, nonché al radicale mutamento del
concetto di vero in matematica conseguente all’avvento delle geometrie
non-euclidee e all’affermarsi del concetto di struttura.
8.1. Le idee e le proposizioni primitive sono vere se sono
derivate dalla realtà fisica.
Fino all’avvento delle geometrie non- euclidee, l’uomo ha considerato
“vero” tutto e soltanto ciò che era in accordo con la realtà fisica.
Purtroppo i metodi per stabilire questo accordo non sono stati sempre
corretti, per il fatto che la realtà fisica è complessa e presenta
diversi livelli; quindi la sua investigazione comporta un adeguato e acuto
lavoro di analisi che è iniziato soltanto con Galileo. Basti pensare alle
errate argomentazioni, che pur si appellavano alla realtà fisica,
elaborate da Aristotele per la fisica e agli sforzi immani che dovette
sostenere Galileo per confutarle! È comprensibile, dunque, che la via più
naturale sia stata, per lunghissimo tempo, assumere, quali idee primitive
da porre all’inizio dell’edificio geometrico, enti geometrici
suggeriti dall’esperienza quotidiana e privati di qualsiasi attributo
materiale, tali da poterli considerare come gli elementi costitutivi di
tutte le forme rintracciabili nella realtà fisica. Si tratta, dunque, del
punto di vista intuizionista, di cui sono stati strenui propugnatori Henry
Poincarè, L.E.J. Brouwer ed Hermann Weyl, secondo cui le idee primitive
hanno significato e valore soltanto se idealizzano dati sensoriali del
mondo fisico, perché in tal modo consentono di edificare una geometria in
grado di fornire una conoscenza di esso. In tale ottica, le idee primitive
di punto, retta e piano, assunte a fondamento della geometria euclidea,
possono essere pensate derivate per astrazione dalle corrispondenti
immagini, o rappresentazioni sensibili, facilmente rintracciabili nel
mondo fisico che ci circonda, in altre parole sono modelli astratti
derivati da corrispondenti modelli concreti. Il segno lasciato sulla carta
dalla punta di una matita fornisce un’immagine (modello concreto) di
punto, concetto al quale si giunge facendo astrazione (modello astratto)
dalla consistenza materiale e dalle dimensioni, sia pur piccole, di quel
segno. Naturalmente, molti altri modelli concreti di punto possono essere
individuati in natura: la punta di uno spillo, un granellino di sabbia, e
qualunque altro corpuscolo le cui dimensioni, in ogni direzione, sono
trascurabili rispetto alle altre in gioco. Analogamente, il modello
astratto di retta può essere suggerito da modelli concreti costituiti,
per esempio, da un’esile cordicella tesa fra due chiodi o da una sottile
asticella di legno o, più in generale, da qualunque altro oggetto in cui
una dimensione (lunghezza) prevale in maniera cospicua sulle altre due
(larghezza e spessore). Anche in questo caso, il processo di astrazione
mentale, privando la cordicella della sua consistenza materiale e delle
sue dimensioni trasversali, ha condotto all’idea di segmento di retta e,
successivamente, prolungando idealmente all’infinito le estremità di
questo, all’idea di retta. Infine, il modello astratto di piano può
pensarsi derivato da un modello concreto quale il piano di appoggio di un
tavolo, privandolo, mentalmente, della sua consistenza materiale, del suo
spessore e prolungandolo in tutte le direzioni in esso contenute.
Insomma, il processo mentale di creazione dei modelli astratti degli enti
primitivi punto, retta e piano dai corrispondenti modelli concreti lascia
sopravvivere le caratteristiche immateriali intrinseche: il punto, privato
di ogni sua propria dimensione, indica semplicemente una posizione nello
spazio; la retta, con la sua unica dimensione, indica una direzione nello
spazio; il piano, con le sue infinite direzioni, indica una giacitura
nello spazio. Ovviamente anche gli assiomi, essendo utilizzati per fissare
la conoscenza delle idee primitive, sono ricavati dall’osservazione
sensoriale delle proprietà fondamentali di cui godono i modelli concreti
di queste. In altri termini, per gli intuizionisti, i fondamenti della
geometria sono suggeriti dalla realtà fisica ed hanno in essa la loro
matrice.
8.2. Le idee e le proposizioni primitive come simboli e regole
arbitrari.
La seconda via per scegliere le idee primitive differisce notevolmente
dalla precedente, giacché considera il loro parto come pura opera del
pensiero, vale a dire le idee primitive non hanno necessariamente un
legame con il mondo fisico, ma sono liberamente inventate
dall’intelletto umano. Di conseguenza, non è possibile utilizzare come
assiomi proprietà tratte dall’esperienza sensoriale di modelli
concreti, che, in tal caso, in generale non esistono; l’unica via a
disposizione è stabilire anche gli assiomi arbitrariamente, in altre
parole inventarli. È il punto di vista formalista, di cui furono sommi
esponenti J.W.R. Dedekind, Giuseppe Peano e David Hilbert, che considera
unicamente l’aspetto formale logico-strutturale e non ritiene
essenziale, per stabilire la validità delle idee primitive, rivolgersi al
di fuori della geometria, come fanno da una parte gli intuizionisti,
appellandosi all’esperienza fisica, e dall’altra i logicisti,
invocando i principi della logica; al contrario, le idee primitive hanno
soltanto il compito di consentire di edificare su di esse una geometria,
vale a dire sono pure ipotesi, la cui validità è garantita unicamente
dalla non contraddittorietà degli assiomi che le definiscono
implicitamente. In tal modo la geometria sarebbe essenzialmente un
gioco logico di manipolazione di simboli e regole arbitrari che soltanto
accidentalmente, in qualche caso, possono rispecchiare la realtà fisica e
quindi consentire la conoscenza del mondo esterno.
8.3. Le idee e le proposizioni primitive riconducibili ai principi
della logica.
I logicisti, che ebbero i loro capiscuola in Gottlob Frege e in Bertrand
Russell, pur apprezzando molto lo strutturalismo del formalismo, non
accettano l’idea di una geometria intesa come sterile applicazione di
regole arbitrarie, sia pure logicamente coerenti, a simboli arbitrari,
frutto unicamente del pensiero umano. Essi sono accomunati agli
intuizionisti nel perseguire la ricerca della validità dei fondamenti
della geometria al di fuori di essa, ma, a differenza di quelli, ritengono
che la validità delle idee primitive e degli assiomi vada ricercata nei
principi della logica, alla quale hanno tentato di ridurre non soltanto la
geometria ma anche l’intera matematica.
Fine della terza puntata
Note:
1 - I matematici usano quasi sempre il termine
“proposizione” in luogo di “proprietà”, poiché questa, in
definitiva, è espressa da una proposizione.
2 - Oggi i termini assioma e postulato sono considerati
perfettamente sinonimi. In tempi passati, invece, pur denotando entrambi
le proposizioni primitive, erano utilizzati con una differenza di
carattere “psicologico”: assioma era la proposizione primitiva di per
sé evidente, mentre postulato era quella non evidente e che, pertanto, si
“postulava”, vale a dire si chiedeva, al lettore, di accettare per
vera, nonostante la sua mancanza di evidenza. È ovvio che questa
distinzione era accettabile quando si riteneva che le proposizioni
primitive potessero essere tratte soltanto dal mondo sensoriale e quindi
fossero soggette unicamente al vaglio dell’intuizione. Oggi, invece,
tale distinzione non ha più senso, giacché le proposizioni primitive
possono avere origine anche dalla logica o dal libero arbitrio e non avere
quindi nessun attributo di evidenza intuitiva. |
